משתמש:קוונטום דוץ/פרופגטור ואן ולק

פרופגטור ואן ולק (לעיתים נקרא פרופגטור ואן ולק-גוצווילר, van Vleck Gutzwiller Propagator ובראשי תיבות vVG) הוא קירוב סמי-קלאסי לאינטגרל המסלול של פיינמן, המשמש כפורמליזם חלופי למשוואת שרדינגר התלויה בזמן. הקירוב הומצא על ידי הפיזיקאים ג'ון ואן ולק ומרטין גוצווילר.

פיתוח

לפי פורמליזם אינטגרלי המסלול של פיינמן, על מנת לחשב את הפרופגטור הקוונטי, יש לסכום על כל המסלולים האפשריים בין הנקודות $x$ ו-$x'$:

$$\langle x'|e^{-iHt/\hbar }|x\rangle ={\biggl (}{\frac {m}{2\pi i\hbar t}}{\biggr )}^{1/2}\sum _{all-paths}e^{{iS(x,x',t)}/\hbar }={\biggl (}{\frac {m}{2\pi i\hbar t}}{\biggr )}^{1/2}\int {\mathcal {D}}e^{{iS(x,x',t)}/\hbar }$$

כאשר $S(x,x',t)$ הוא פונקציונל הפעולה של כל מסלול ומסלול, והאינטגרציה נעשית על כל המסלולים.

ההבנה כי המסלולים הקלאסיים הם בעלי התרומה המשמעותית ביותר לאינטגרל כולו, מאפשרת את הקירוב הבא:

$$\langle x'|e^{-iHt/\hbar }|x\rangle \simeq {\biggl (}{\frac {m}{2\pi i\hbar t}}{\biggr )}^{1/2}\sum _{classical-paths}e^{i(S+\delta S+{\frac {1}{2}}\delta ^{2}S)/\hbar }={\biggl (}{\frac {m}{2\pi i\hbar t}}{\biggr )}^{1/2}\sum _{classical-paths}e^{i(S+{\frac {1}{2}}\delta ^{2}S)/\hbar }$$

כאשר הווריאציה על הפעולה נעשתה עד לסדר שני. הווריאציה מסדר ראשון מתאפסת אוטומטית, מכיוון שעבור כל המסלולים הקלאסיים מתקיים עקרון המילטון.

את הווריאציה מסדר שני ניתן לכתוב בבסיס המצבים העצמיים של אופרטור היציבות (stability operator) $\Lambda$ שערכיו העצמיים הם $\lambda _{n}$, כך ש:

$$\delta ^{2}S=\sum _{n}\lambda _{n}a_{n}^{2}$$

כך שיש לבצע אינטגרציה על שרשרת של $N$ גאוסיאנים בעלי ארגומנט מדומה, מהצורה $e^{i\sum _{n}\lambda _{n}a_{n}^{2}}$. לאחר ביצוע האינטגרל, נקבל:

$$\langle x'|e^{-iHt/\hbar }|x\rangle \simeq {\biggl (}{\frac {m}{2\pi i\hbar t}}{\biggr )}^{1/2}\sum _{classical-paths}\lim _{N\to \infty }\prod _{n=1}^{N}{\biggl (}{\frac {\lambda _{n}^{0}}{\lambda _{n}}}{\Bigr )}^{1/2}e^{iS/\hbar }$$

כעת, ניתן לבצע שתי החלפות נוספות (ע"פ עבודתם של שמעון לויט ועוזי סמילנסקי).

לקריאה נוספת

David J. Tannor, Introduction to Quantum Mechanics, A Time Dependent Perspective, University Science Books, 2001