משפט בלוך

סכימה של החלק הממשי של גל בלוך בממד אחד

גל בלוך שְווה פוטנציאל בסריג צורן (סיליקון)

בפיזיקת המצב המוצק, משפט בלוך מאפיין את פונקציית הגל של חלקיק בפוטנציאל מחזורי, דוגמת אלקטרון הנע בגביש מחזורי. פונקציות גל אלו מכונות גלי בלוך או פונקציות בלוך.

המשפט קרוי על שם הפיזיקאי פליקס בלוך שפרסם אותו בשנת 1928.

למשפט שימושים וחשיבות רבה בפיזיקת המצב המוצק, לדוגמה לגבי מבנה הפסים במתכות.

ניסוח מתמטי

למשפט מספר ניסוחים שקולים.

ניסוח ראשון

אם $V({\vec {r}})$ הוא פוטנציאל מחזורי של סריג כלשהו, כלומר מתקיים $V({\vec {r}}+{\vec {R}})=V({\vec {r}})$ עבור כל וקטור הזזה סריגית ${\vec {R}}$, אזי ניתן לכתוב את הפתרונות למשוואת שרדינגר עבור האלקטרונים בסריג כך:

פונקציית בלוך

$\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}u_{\vec {k}}({\vec {r}})$

כאשר לפונקציה $u$ יש את אותה המחזוריות של הסריג, כלומר לכל ${\vec {r}}$ בסריג ולכל הזזה סריגית ${\vec {R}}$ מתקיים $u_{\vec {k}}({\vec {r}}+{\vec {R}})=u_{\vec {k}}({\vec {r}})$.

פונקציות גל אלו הן פונקציות עצמיות של ההמילטוניאן ${\mathcal {H}}={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+V({\vec {r}})$ עבור האלקטרונים.

ניסוח שני

בהינתן המילטוניאן כנ"ל, קיים וקטור ${\vec {k}}$, כך שהפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן מקיימות:

$\psi ({\vec {r}}+{\vec {R}})=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {R}}}\psi ({\vec {r}})$

לכל הזזה סריגית ${\vec {R}}$.

הוכחה

המליטוניאן עבור קירוב אלקטרונים לא-תלויים (Independent electron approximation):

${\mathcal {H}}={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+V({\vec {r}})$.

נגדיר וקטור סריג:

${\vec {R}}\equiv n_{1}{\vec {a}}_{1}+n_{2}{\vec {a}}_{2}+n_{3}{\vec {a}}_{3}$

כאשר ${\vec {a}}_{2}$, ${\vec {a}}_{1}$ ו־${\vec {a}}_{3}$ הם וקטורי סריג פרימיטיביים ($n_{1},n_{2},n_{3}\in \mathbb {Z}$).

נגדיר אופרטורי הזזה בווקטור סריג עבור ${\vec {R}}$ כלשהו כמוגדר לעיל:

$T_{\vec {R}}f({\vec {r}})\equiv f({\vec {r}}+{\vec {R}})$.

מכיוון שהפוטנציאל שמור (invariant) להזזה בווקטור סריג (כלומר מתקיים $V({\vec {r}}+{\vec {R}})=V({\vec {r}})$ עבור כל ${\vec {R}}$ כמוגדר לעיל), אז גם ההמילטוניאן שמור להזזה בווקטור סריג.

ניתן להראות שההמילטוניאן חילופי עם אופרטורי הזזה בווקטור סריג $T_{\vec {R}}$:

$T_{\vec {R}}(H({\vec {r}})\psi ({\vec {r}}))=H({\vec {r}}+{\vec {R}})\psi ({\vec {r}}+{\vec {R}})=H({\vec {r}})\psi ({\vec {r}}+{\vec {R}})=H({\vec {r}})T_{\vec {R}}\psi ({\vec {r}})$

כלומר הקומוטטור של ההמילטוניאן וּוקטור סריג כלשהו שווה לאפס: $[H,T_{\vec {R}}]=0$.

כמו כן, אופרטורי ההזזה הנ"ל חילופיים זה עם זה. לפיכך ניתן למצוא פונקציות עצמיות משותפות להמילטוניאן ולאופרטורי ההזזה, כלומר ניתן לבחור את הפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן כך שיקיימו:

${\begin{cases}H\psi _{n}({\vec {r}})=E_{n}\psi _{n}({\vec {r}})\\T_{\vec {R}}\psi _{n}({\vec {r}})=C({\vec {R}})\psi _{n}({\vec {r}})\end{cases}}$

מכיוון שהזזה ב-${\vec {R}}_{2}$ ואחריה הזזה ב-${\vec {R}}_{1}$ שקולה להזזה ב-${\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}$, מתקיים:

$C({\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2})\psi ({\vec {r}})=T_{{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}}\psi ({\vec {r}})=T_{{\vec {R}}_{1}}T_{{\vec {R}}_{2}}\psi ({\vec {r}})=C({\vec {R}}_{1})C({\vec {R}}_{2})\psi ({\vec {r}})$

ולכן: $C({\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2})=C({\vec {R}}_{1})C({\vec {R}}_{2})$

הפונקציה היחידה בעלת תכונה זו היא אקספוננט, ולכן:

$C({\vec {R}})=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {R}}}$.

לסיום:

$\psi ({\vec {r}}+{\vec {R}})=T_{\vec {R}}\psi ({\vec {r}})=C({\vec {R}})\psi ({\vec {r}})=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {R}}}\psi ({\vec {r}})$

כלומר:

$\psi ({\vec {r}}+{\vec {R}})=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {R}}}\psi ({\vec {r}})$

וזה הניסוח השני של המשפט.

בנוסף להוכחה שהוצגה כאן, קיימות הוכחות אחרות, בהן בונים באופן מפורש את הפונקציות העצמיות.

גזירת הניסוח הראשון

נכפיל את שני האגפים ב־$e^{-i{\vec {k}}\cdot ({\vec {r}}+{\vec {R}})}$:

$\psi ({\vec {r}}+{\vec {R}})e^{-i{\vec {k}}\cdot ({\vec {r}}+{\vec {R}})}=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {R}}}\psi ({\vec {r}})e^{-i{\vec {k}}\cdot ({\vec {r}}+{\vec {R}})}=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {R}}}\psi ({\vec {r}})e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {R}}}=\psi ({\vec {r}})e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}$

נגדיר:

$u({\vec {r}})\equiv \psi ({\vec {r}})e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}$

ולכן:

$\psi ({\vec {r}}+{\vec {R}})e^{-i{\vec {k}}\cdot ({\vec {r}}+{\vec {R}})}=\psi ({\vec {r}})e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\Rightarrow u({\vec {r}}+{\vec {R}})=u({\vec {r}})$

כלומר הפונקציה $u({\vec {r}})$ היא פונקציה מחזורית והמחזוריות שלה זהה למחזוריות הסריג.

לפי ההגדרה של $u({\vec {r}})$ נקבל:

$\psi ({\vec {r}})=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}u({\vec {r}})$

מ.ש.ל

לקריאה נוספת

• Felix Bloch, "Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern," Z. Physik 52, 555-600 (1928).
• Ashcroft and Mermin, Solid state physics (chapter 8)