לדלג לתוכן

פורטל:מתמטיקה/הידעת?/21

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
כמות המספרים הראשוניים עד X והפער בינה לבין הערכת הנוסחה שבמשפט המספרים הראשוניים
x
101 4 0 2
103 168 23 10
106 78,498 6,116 130
109 50,847,534 2,592,592 1,701
1012 37,607,912,018 1,416,705,193 38,263
1015 29,844,570,422,669 891,604,962,452 1,052,619


במתמטיקה כמו במדעי הטבע נהוג לשער השערות על בסיס אינדוקציה (הסקת מסקנות מהפרט אל הכלל). אולם, בשונה ממדעי הטבע, על מנת שהשערה תהפוך למשפט נדרשות גם הוכחות ש"לוכדות את האינסוף" ולא רק מספר סופי של מקרים. על אף שבהרבה מקרים השערות עם ראיות מספריות חזקות מוכחות בסופו של דבר, חלקן מופרכות. תופעה זאת נקראת לעיתים חוק המספרים הקטנים.

דוגמה לתופעה זאת הייתה ההשערה לפיה המספרים 31, 331, 3331 וכו' ראשוניים, שהייתה נכונה למספרים הראשונים בסדרה והופרכה רק כשהתגלה ש-333,333,331 פריק.

דוגמה קיצונית אף יותר, גם היא עוסקת במספרים ראשוניים, קשורה למשפט המספרים הראשוניים, שמספק קירוב טוב למספר הראשוניים מתחת למספר . הקירוב נתון על ידי פונציית הפונקציית האינטגרל הלוגריתמי (ששווה בקירוב, פחות מדויק, ל, דהיינו X לחלק לתוצאת הלוגריתם הטבעי עבורו).

לאחר בדיקת כמות עצומה של מספרים, הערכה זו תמיד מפריזה במעט במספר הראשוניים, אך ג'ון אדנזור ליטלווד גילה שבשלב כלשהו הנוסחה תמעיט בכמות המספרים הראשוניים, מבלי להצביע על המספר בו יקרה ההיפוך.

להשערות חשובות כמו המשפט האחרון של פרמה והשערת רימן נמצאו ראיות התקפות למספרים רבים בעזרת מחשבי על. אולם בהיעדר הוכחה הן נשארו פתוחות במשך שנים רבות (האחרונה עד היום).