פורטל:מתמטיקה
המתמטיקה מוגדרת לעיתים קרובות כלמידת הדפוסים והתבניות של מבנה, שינוי ומרחב, ואפיונם. מנקודת מבט מודרנית, מתמטיקה היא השימוש בלוגיקה פורמלית לחקירת מערכות ומבנים מופשטים שהוגדרו אקסיומטית.
מוצאם של רוב המבנים הנחקרים במתמטיקה הוא ממדעי הטבע, לרוב מפיזיקה, אך מתמטיקאים מרבים להגדיר ולחקור מבנים מסיבות פנימיות לחלוטין למתמטיקה עצמה, למשל לשם ביצוע הכללה מאחדת של תחומים מתמטיים אחדים או ככלי שימושי לביצוע חישובים. יש אפוא מתמטיקאים רבים שחוקרים תחומים מסוימים מסיבות אסתטיות לחלוטין, בראיית המתמטיקה כאמנות במידת מה יותר מכמדע שימושי.
|
עריכהערכים מומלצים במתמטיקה
עריכהמאמר נבחר
 קריפטוגרפיה היא ענף במתמטיקה ובמדעי המחשב העוסק באלגוריתמים של אבטחת מידע על רבדיה השונים, ובביסוס המתמטי שלהם. תחום הקריפטוגרפיה מאגד תחתיו נושאים רבים ובהם: הצפנה של מידע חסוי ממי שלא הוסמך לראותו; אימות זהות (כמו באמצעות סיסמה) ובקרת הרשאות גישה; פרוטוקולים להוכחת ידיעה, כמו פרוטוקול אתגר מענה והוכחה באפס ידע; מנגנוני חתימה דיגיטלית לאימות זהות המקור ומניעת התכחשות, והבטחת שלמות המידע. קריפטוגרפיה מודרנית נמצאת בשימוש ביישומים מעשיים רבים, החל מאבטחת רשתות תקשורת (גם אלחוטיות כמו רשת סלולרית), דרך דואר אלקטרוני, מסחר אלקטרוני, כרטיסי אשראי ואבטחת מסופי משיכת מזומנים. |
עריכהמומלצי פורטל נוספים
עריכהמתמטיקאי נבחר
 יוליוס וילהלם ריכרד דֶדֶקינד (6 באוקטובר 1831 – 12 בפברואר 1916) היה מתמטיקאי גרמני, מממשיכיו הבולטים של ארנסט קומר. דדקינד נולד בבראונשווייג, והיה הצעיר מבין ארבעת ילדיו של יוליוס לוין אולריך דדקינד. דדקינד מעולם לא השתמש בשני שמותיו הראשונים, וחי עם אחותו הרווקה יוליה עד מותה ב-1914. הוא לא נישא מעולם. בשנת 1848 החל דדקינד בלימודיו בקולג' המלכותי בבראונשווייג. בשנת 1850, מצויד בבסיס מתמטי חזק, החל ללמוד באוניברסיטת גטינגן. באוניברסיטה זו לימד גאוס, וממנו למד דדקינד על תורת המספרים. בין מוריו החשובים של דדקינד היה גם מוריץ אברהם שטרן שכתב באותו זמן עבודות רבות בתורת המספרים. דדקינד הגיש עבודת דוקטורט קצרה בהנחייתו של גאוס שנקראה "Über die Theorie der Eulerschen Integrale" ("על התאוריה של שלמים אוילריאניים"), אך בעבודה זו לא ניכר הכישרון שייחד את דדקינד בעבודותיו המאוחרות. למרות זאת הכיר גאוס בכישוריו – דדקינד קיבל את הדוקטורט שלו ב-1852 והיה לתלמידו האחרון של גאוס. |
|
עריכהתמונה נבחרת
|
עריכהאנימציה נבחרת
 האנימציה מראה איך לפרק את הגרף למספר חלקים ולהרכיב מהם 2 העתקים של הגרף המקורי. פרוק כזה נקרא פרוק פרדוקסלי. בפני עצמו, פרוק זה אינו מפתיע יותר מהמלון של הילברט, אולם ניתן להסיק ממנו את משפט בנך-טרסקי (הנקרא לעיתים פרדוקס בנך-טרסקי) הקובע כי קיים פרוק פרדוקסלי של הכדור. |
הבעיות הגאומטריות של ימי קדם, שנוסחו על ידי היוונים הקדמונים, הן בעיות בנייה שיש לפתור באמצעות שימוש בסרגל ובמחוגה בלבד. הבעיות הן: בניית קובייה שנפחה כפול מזה של קובייה נתונה, חלוקת זווית נתונה לשלושה חלקים שוים, בניית ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון ובניית מצולע משוכלל בן שבע צלעות. רק במאה ה-19 הוכח בעזרת התורה המתמטית של הרחבת שדות שהבעיות אינן פתירות, אולם העיסוק בהן במשך השנים תרם רבות להתפתחות הגאומטריה.
מספרים מושלמים, כמו אנשים מושלמים, הם מאוד נדירים
יצרן משקאות קלים החליט להגדיל את גובה פחיות המשקה שלו ב-25%, בלי לשנות את נפח הפחית. בכמה אחוזים עליו להקטין את קוטר הפחית?
| פתרון | |
|---|---|
|
חידת המשך:
כיצד השתנתה צריכת האלומיניום הנחוץ לייצור פחית (בהנחה שהפחיות הן גלילים מדויקים, ועובי האלומיניום זהה בכל חלקי הפחית)?
| פתרון | |
|---|---|
|
חידת המשך:
מהו היחס הנדרש בין גובה הפחית לרדיוסה, כדי שצריכת האלומיניום תהיה מזערית?
| פתרון | |
|---|---|
|
|
עריכהאוצרות הרשת
 בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של אתרי אינטרנט הפועלים להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב. אתר היום: בדיחות מקצועיות – מתמטיקאים אוסף של בדיחות שנדרש ידע מתמטי מסוים כדי לצחוק מהן. דוגמה: מדוע עשרת בני המן אינם יכולים להיות בסיס למרחב וקטורי? מפני שאינם בלתי תלויים. אל תתיאשו אם לא צחקתם, זו בדיחה שמתחילים לצחוק ממנה בסוף הסמסטר הראשון של לימודי מתמטיקה באוניברסיטה. בדיחות אחרות טובות גם לבעלי השכלה מתמטית של שלוש יחידות לבגרות. |
עריכהמדף הספרים
בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של ספרי מתמטיקה שנועדו להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב. ספר היום:  יוסי שלוסברג, המלכה והגולם – הרפתקאות מתמטיות ותעלומות מחשב, הוצאת עלו-עט, 2011 הספר כולל אוסף נרחב של סיפורים, אנקדוטות, בעיות וחידות מענפי המתמטיקה ומדעי המחשב. בנוסף לחידות ופתרונותיהן, ניתנים רמזים לסיוע בפתרון חידות קשות. הסיפורים והחידות מקובצים לפי נושאים, ובהם: ורבים אחרים. |
|
משפטים מפורסמים
|
השערות מפורסמות
|
המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי (נקרא גם המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי) קושר בין שני מושגי היסוד של החשבון האינפיניטסימלי, הנגזרת והאינטגרל, ומראה שגזירה ואינטגרציה הן פעולות הופכיות זו לזו: אם פונקציה רציפה עוברת אינטגרציה ואחר כך גוזרים את התוצאה, חוזרים לפונקציה המקורית. פרט לקשר זה, המשפט גם מספק שיטה מעשית לחישוב האינטגרל המסוים, שהוא מושג שמוגדר בצורה שאינה מאפשרת חישוב פשוט, באמצעות האינטגרל הלא מסוים, שלחישובו יש דרכים רבות.
המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי קובע שאינטגרל מסוים בין שתי נקודות שווה להפרש הערכים של האינטגרל הלא המסוים שלה בנקודות אלו. לכאורה שני מושגים אלה שונים זה מזה ובאים מעולמות שאין להם שום קשר אבל המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי (שנקרא גם משפט ניוטון-לייבניץ) קובע את הקשר העמוק בין שני התחומים.
נושאים במתמטיקה
| |||
|---|---|---|---|
| כמות | אינסוף - מספרים (טבעיים, שלמים, רציונליים, אי-רציונליים, ממשיים, מרוכבים) - מספרים סודרים - עוצמה - תורת המידה - קבועים מתמטיים | ||
| שינוי | אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - אנליזה מרוכבת - אריתמטיקה - חשבון אינפיניטסימלי - תורת הכאוס - משוואות דיפרנציאליות - אנליזה פונקציונלית | ||
| מבנה | אלגברה - אנליזה מתמטית - אריתמטיקה - טופולוגיה - תורת הגרפים - תורת החבורות - תורת המספרים | ||
| מרחב | אלגברה ליניארית - גאומטריה - טופולוגיה - טריגונומטריה - אנליזה וקטורית - חשבון טנזורים - מרחב מחויג | ||
| מתמטיקה בדידה | חישוביות - קומבינטוריקה - קריפטוגרפיה - תורת הגרפים - תורת המשחקים | ||
| יסודות ושיטות | לוגיקה - פילוסופיה של המתמטיקה - תורת הקבוצות - סימון מתמטי - תורת הקטגוריות | ||
| מתמטיקה יישומית | אופטימיזציה - אנליזה נומרית - הסתברות - סטטיסטיקה - מתמטיקה פיננסית | ||
| עולם המתמטיקה | הוראת המתמטיקה - האיחוד המתמטי הבינלאומי - היסטוריה של המתמטיקה - מדליית פילדס - מתמטיקאים - 23 הבעיות של הילברט | ||
|
עריכהמבט על תחום נבחר
חישוביות היא הבסיס למדעי המחשב, והיא עוסקת במודלים לחישוב ובפונקציות הניתנות לחישוב במסגרתם. בניגוד להנחה נפוצה, ישנן פונקציות שאי אפשר לחשב. בעיית העצירה מהווה דוגמה לפונקציה שכזו: ניתן להוכיח כי אין תוכנית היכולה לקבל כקלט תוכנית כלשהי והקלט לאותה התוכנית, ולקבוע האם התוכנית תעצור. במסגרת תאוריית החישוביות נבחנות תכונותיהם של מודלים חישוביים שונים, על ידי בדיקת מחלקת הפונקציות שניתן לחשב במודל, ושקילותה למחלקת הפונקציות של מודל אחר. ההיררכיה של חומסקי מתארת היררכיית מחלקות הניתנות לחישוב במודלים שונים, כך שלכל מחלקת פונקציות בהיררכיה מתאימים מודלים רבים, אשר שקולים זה לזה בכוחם החישובי – חישוב שניתן לבצע באחד מהמודלים ניתן לבצע גם באחרים. אחד המודלים הראשונים שנוצרו הוא מכונת טיורינג, אשר מהווה אבן דרך בתורת החישוביות כולה, בשל פשטותו ודמיונו למחשב (שטרם הומצא בעת יצירת מודל זה). מודל אחר הוא זה של תחשיב למדא. הוכח ששני מודלים אלה, ומודלים רבים נוספים אחרים שהוצעו, שקולים זה לזה. מודלים אלה שקולים גם למחשב, אם נניח קיומו של זיכרון בלתי מוגבל בגודלו. תזת צ'רץ'-טיורינג משערת שכל פורמליזציה סבירה של מושג האלגוריתם תהיה שקולה למכונת טיורינג. | |||
|
ערכים המחפשים עורכים  |
דיונים, ייעוץ ועזרה
|