מטריצה הפיכה
באלגברה ליניארית, מטריצה ריבועית תיקרא הפיכה אם קיימת מטריצה ריבועית אחרת, כך שמכפלתן היא מטריצת היחידה. שמות נוספים למטריצה הפיכה הם מטריצה רגולרית ומטריצה לא סינגולרית.
הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]
תהי מטריצה מסדר . המטריצה תיקרא "הפיכה" אם קיימת מטריצה אחרת, שתסומן ותיקרא המטריצה ההופכית של , כך שמתקיים , כאשר היא מטריצת היחידה מסדר , בפעולת כפל מטריצות סטנדרטי.
מטריצה שאינה הפיכה תיקרא סינגולרית (או לא הפיכה).
דרכים למציאת מטריצה הפיכה[עריכת קוד מקור | עריכה]
קיימות מספר שיטות יעילות לחישוב מטריצה הופכית כשהנפוצות ביותר הן דירוג מטריצות (אלימינציית גאוס-ז'ורדן) ושיטת ניוטון-רפסון.
דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]
מטריצות הפיכות[עריכת קוד מקור | עריכה]
לפי ההגדרה, כדי להראות שמטריצה מסוימת היא הפיכה, מספיק למצוא מטריצה נוספת כך שמכפלתן היא מטריצה היחידה. לכן, דוגמה טריוויאלית למטריצה הפיכה היא מטריצת היחידה עצמה, .
דוגמה נוספת היא המטריצה:
- מטריצה זו הפוכה לעצמה: .
מטריצות לא הפיכות[עריכת קוד מקור | עריכה]
מטריצת האפס היא לא הפיכה, כי תוצאת המכפלה של כל מטריצה עם מטריצת האפס היא שוב מטריצת האפס, ואף פעם לא . באופן כללי יותר, אם AB=0 (כאשר ) אז A אינה הפיכה. זוהי תכונה כללית של הכפל בחוגים: מחלק אפס אינו יכול להיות הפיך. בחוג המטריצות מעל שדה מתקיים גם הכיוון ההפוך: אם A אינה הפיכה, אז יש כך ש-AB=0.
שיטות למציאת המטריצה ההפכית[עריכת קוד מקור | עריכה]
את המטריצה ההופכית של מטריצה הפיכה מסדר 2 ניתן להציג באופן כללי על ידי הנוסחה הבאה:
זהו מקרה פרטי של הנוסחה הנכונה לכל מטריצה:
כאשר היא המטריצה המצורפת ל-ו-היא מטריצת היחידה. כאשר הדטרמיננטה אינה אפס מתקבל מהנוסחה, על ידי העברת אגפים, שהמטריצה ההופכית היא המטריצה המצורפת חלקי הדטרמיננטה:
דרך נוספת למציאת מטריצה הפיכה היא לשרשר את מטריצת מימין למטריצה (מטריצה כזו נקראת לפעמים מטריצה מורחבת) ולמצוא קומבינציה ליניארית של השורות אשר תניב את המטריצה .
לדוגמה את המטריצה
נרשום את המטריצה:
ונדרגה:
חיסור השורה הראשונה כפול 2 מהשורה השנייה, וחיבור השורה הראשונה לשורה השלישית:
הכפלת השורה השנייה ב-1-:
חיבור השורה השנייה לראשונה, וחיסור השורה השנייה כפול 2 מהשורה השלישית:
חיבור השורה השלישית לשורה הראשונה, וחיסור השורה השלישית מהשורה השנייה:
ולכן
יש להדגיש כי לא כל המטריצות הפיכות ואפשר לראות זאת באמצעות השיטה הזו. למשל
נרשום:
ונדרג
המטריצה האחרונה אליה הגענו אינה ניתנת להפיכה למטריצה מן הסוג ועל כן המטריצה היא בלתי הפיכה.
הוכחה לשיטת הבלוקים: נשים לב שביצוע סדרת פעולות על שורות מטריצה (דירוג מטריצות) שקול לכפל במטריצה הפיכה B. מאחר שמבצעים את אותן פעולות על A ו-I מקבלים: אבל אם מגיעים ל- הרי ש- וזו בדיוק המטריצה המתקבלת בבלוק הימני (כלומר: ).
תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]
תנאים שקולים להפיכות[עריכת קוד מקור | עריכה]
תהא מטריצה מסדר . כל התנאים הבאים שקולים. כלומר אם אחד מתקיים, כולם מתקיימים:
- היא מטריצה הפיכה.
- קיימת מטריצה כך ש-. (כלומר, הפיכה משמאל)
- קיימת מטריצה כך ש-. (כלומר, הפיכה מימין)
- אינה מחלק אפס בחוג המטריצות הריבועיות. (כלומר, לכל מטריצה , מתקיים )
- (כלומר, דטרמיננטת המטריצה שונה מ-0).
- (כלומר, דרגת המטריצה שווה ל-n).
- שקולת שורות ל-(כלומר, ניתן להגיע מאל באמצעות פעולות אלמנטריות).
- היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות.
- למערכת המשוואות הליניאריות קיים רק פתרון אחד והוא הפתרון הטריוויאלי, כלומר (בניסוח אחר: מרחב הפתרונות מנוון).
- למערכת המשוואות הליניאריות קיים פתרון לכל וקטור עמודה מסדר (פתרון זה יהיה יחיד).
- עמודות המטריצה הן בלתי תלויות ליניארית.
- שורות המטריצה הן בלתי תלויות ליניארית.
- 0 אינו ערך עצמי של המטריצה.
- ההעתקה הליניארית מעבירה בסיס לבסיס.
- ההעתקה הליניארית היא חד חד ערכית. באופן שקול, הגרעין טריוויאלי ()
- ההעתקה הליניארית היא על.
- ממד מרחב השורות של A הוא n.
- ממד מרחב העמודות של A הוא n.
- מאפסת פולינום עם מקדם חופשי שונה מ-0.
תכונות אלגבריות[עריכת קוד מקור | עריכה]
יהיו A ו-B מטריצות הפיכות.
- כאשר היא המטריצה המשוחלפת.
- לכל סקלר מתקיים
- (דטרמיננטה)
- אם מטריצה הפיכה גזירה לכל (זוהי מטריצה התלויה בפרמטר t) אזי
- אם מספר קטן, אזי
קבוצת המטריצות ההפיכות[עריכת קוד מקור | עריכה]
לפי מה שכתוב לעיל, ניתן להציג את קבוצת כל המטריצות ההפיכות כקבוצת המטריצות שהדטרמיננטה שלהן לא מתאפסת:
מבחינה טופולוגית קבוצה זו היא קבוצה פתוחה, כיוון שהיא מתקבלת כהעתקה ההפוכה של פונקציית הדטרמיננטה (שהיא פונקציה רציפה), של הקבוצה הפתוחה . קבוצה זו צפופה במרחב המטריצות. בגאומטריה דיפרנציאלית, קבוצה זו היא יריעה חלקה, ואף אנליטית מממד כאשר או . בנוסף, יחד עם פעולת כפל מטריצות, קבוצה זו מהווה חבורת לי.
הכללות[עריכת קוד מקור | עריכה]
הפיכוּת מצד אחד[עריכת קוד מקור | עריכה]
מטריצה נקראת הפיכה משמאל אם קיימת מטריצה כך ש . ההופכית השמאלית אינה נקבעת ביחידות אם אינה ריבועית.
בדומה, מטריצה נקראת הפיכה מימין אם קיימת מטריצה כך ש .
מטריצה שהפיכה גם מימין וגם משמאל היא מטריצה הפיכה, ובפרט היא ריבועית. מטריצה שהפיכה רק מצד אחד אינה ריבועית.
הפכי מור-פנרוז[עריכת קוד מקור | עריכה]
מושג המטריצה ההופכית הוכלל על ידי אליקים מור ורוג'ר פנרוז עבור מטריצות שאינן בהכרח ריבועיות; ראו (Moore–Penrose pseudoinverse).
ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]
נושאים באלגברה ליניארית | ||
---|---|---|
מושגי יסוד | שדה • מרחב וקטורי • משוואה ליניארית • מערכת משוואות ליניאריות • העתקה ליניארית • מטריצה | |
וקטורים | סקלר • כפל בסקלר • צירוף ליניארי • תלות ליניארית • קבוצה פורשת • בסיס • וקטור קואורדינטות • ממד | |
מטריצות | כפל מטריצות • שחלוף • דטרמיננטה • דירוג מטריצות • דרגה • עקבה • מטריצה מצורפת • מטריצת מעבר • מטריצה משולשית • דמיון מטריצות • ערך עצמי • פולינום אופייני • לכסון מטריצות • צורת ז'ורדן | |
העתקות | העתקה ליניארית • קואורדינטות • מטריצה מייצגת • גרעין • אנדומורפיזם • איזומורפיזם • העתקה אפינית • העתקה פרויקטיבית | |
מרחבי מכפלה פנימית | מכפלה סקלרית • מכפלה וקטורית • אורתוגונליות • מטריצה סימטרית • אופרטור הרמיטי • אופרטור אוניטרי • טרנספורמציה נורמלית • נורמה • מטריקה | |
תבניות | תבנית ביליניארית • תבנית סימטרית • תבנית הרמיטית • תבנית סימפלקטית • חפיפת מטריצות • משפט סילבסטר • תבנית מולטי-ליניארית אנטי-סימטרית • אוריינטציה • צפיפות • טנזור |
קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]
- מטריצה הפיכה, באתר MathWorld (באנגלית)